Representación de funciones mediante la serie de Taylor

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como

Donde n! es el factorial de n y f ⁽ⁿ⁾(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)⁰ y 0! son ambos definidos como uno. 

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r)  y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para conprovar si la serie converge a f(x), suele usar una estimación del resto del Teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la formula de la serie de Taylor.

Continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también validos para valores complejos.

Función exponencial y logaritmo natural:

Serie geométrica:

Teorema del binomio:

Funciones trigonométricas: